介绍

对于数学模式中间距的调整可以视作是对公式的精细调整的一部分, 这需要敏锐的观察和一定的审美. 了解 LaTeX 的数学模式中自动生成间距的机制对于调整公式内部间距是十分有益的, 而本文主要对此方面进行介绍, 并提出一些有关间距精细调整的建议, 可视作对该材料的补充. 本文原发于知乎.

介绍

本文是在 Windows 10 操作系统下使用 Stack 搭建在 VSCode 中的基于 Haskell IDE Engine ( HIE ) 的 Haskell 开发环境的介绍. Stack ( GitHub页面 ) 是用于开发 Haskell 的一个交互平台, 可以用于安装 Haskell 的编译器和各种库, 也可以用于构建和测试项目. Stack 对库的版本管理一定程度上依赖于解析器的选择, 解析器支持 LTS 快照, Stackage Nightly快照等多种格式对版本进行指定, 一个快照下的一个库只能拥有一个版本号, 可在 Stackage 网站上查询不同 GHC 对应的最新 LTS 快照. 更多有关 Stack 的教程可以参考用户文档. HIE 是一个针对不断增长的 Haskell 工具的一个通用接口, 它为编辑器和 IDE 提供了功能齐全的语言服务器协议服务, HIE 目前支持的最低 Stack 版本为 2.1.1, 它仍然在不断开发中.

预备部分

本文分为两个部分讨论模格, 第一部分考察模格的定义和动机并给出一些实例, 第二部分介绍模格的主要性质和结构定理. 记号约定: 格 $ (L,\leq) $, $ x \vee y = \sup \{x,y\} $, $ x \wedge y = \inf \{x,y\} $, $ [x,y]=\{\,z \in L\,|\,x \leq z \leq y\,\} $. 覆盖关系 $ \sqsubset $ 满足 $ x \sqsubset y $ 当且仅当 $ x<y $ 且对任意 $ z \in L $ 都有 $ x \leq z \leq y $ 蕴涵 $ z=x $ 或 $ z=y $. $ {\sqsubseteq} = {\sqsubset} \cup {\varDelta_L} $, $ \varDelta_L $ 为 $ L $ 上的单位关系. 模的 (modular) : $ (\forall x,y,z \in L) \; x \leq y \rightarrow (x \vee z) \wedge y = x \vee (z \wedge y) $. 实际上, 由于对任意格 $ L $ 都有 $ (\forall x,y,z \in L) \; x \leq y \rightarrow (x \vee z) \wedge y \geq x \vee (z \wedge y) $, 因此模格的定义可以精炼为 $ (\forall x,y,z \in L) \; x \leq y \rightarrow (x \vee z) \wedge y \leq x \vee (z \wedge y) $.

本文译自 https://ncatlab.org/nlab/show/abstraction.

介绍

抽象或一般化是数学研究的基本策略. 通过阐述一个论点或将一个概念置于“适当的普遍性”中, 我们不仅可以加强结论和拓宽适用性, 而且可以更清晰地察觉数学概念中真正重要的部分.

毫不夸张地说, 现代代数 (尤其是范畴代数) 的发展驱动力来源于提取数学结构的本质并置于公理化的一般框架中的需求. 这对诸如拓扑斯, 阿贝尔范畴, 概形, 上同调理论和其他无数概念都是正确的.

寻找概念的“正确”推广 (而不仅仅是极大推广) 是一个辩证的过程, 严格逻辑意义上的一般化程度必须与简单性, 易用性, 启发性, 优美程度等其他因素相平衡. 对概念坚持不懈地打磨后, 一个集中了良好选择的定义的理论形成了, 关键结论从这些定义中自然地产生.

在数学 (和物理学等) 的历史上, 抽象的推动力偶尔会受到质疑. 在某种程度上这可能是一种代际效应, 观念的转变和重新学习学科基础的压力可能会遭到长期习惯于陈旧观点的数学家的抵制. 另一种观点认为, 为了推广而推广是一项枯燥无味的工作, 因此典型的相对反应就是进一步的抽象应该“证明它们自己”, 例如能够解决古老的问题.