预备部分
本文分为两个部分讨论模格, 第一部分考察模格的定义和动机并给出一些实例, 第二部分介绍模格的主要性质和结构定理. 记号约定: 格 $ (L,\leq) $, $ x \vee y = \sup \{x,y\} $, $ x \wedge y = \inf \{x,y\} $, $ [x,y]=\{\,z \in L\,|\,x \leq z \leq y\,\} $. 覆盖关系 $ \sqsubset $ 满足 $ x \sqsubset y $ 当且仅当 $ x<y $ 且对任意 $ z \in L $ 都有 $ x \leq z \leq y $ 蕴涵 $ z=x $ 或 $ z=y $. $ {\sqsubseteq} = {\sqsubset} \cup {\varDelta_L} $, $ \varDelta_L $ 为 $ L $ 上的单位关系. 模的 (modular) : $ (\forall x,y,z \in L) \; x \leq y \rightarrow (x \vee z) \wedge y = x \vee (z \wedge y) $. 实际上, 由于对任意格 $ L $ 都有 $ (\forall x,y,z \in L) \; x \leq y \rightarrow (x \vee z) \wedge y \geq x \vee (z \wedge y) $, 因此模格的定义可以精炼为 $ (\forall x,y,z \in L) \; x \leq y \rightarrow (x \vee z) \wedge y \leq x \vee (z \wedge y) $.
模格的定义与实例
令 $ a,b \in L $ 满足 $ a \leq b $. 一种朴素的想法是: 如何建立 $ L $ 中任意元素和任意选取的区间 $ [a,b] $ 之间的关系. 此时, 我们考虑映射 $ j_a \colon L \to L $ 满足对任意 $ z \in L $ 都有 $ j_a(z)=a \vee z $, 映射 $ m_b \colon L \to L $ 满足对任意 $ z \in L $ 都有 $ m_b(z)=b \wedge z $. 注意到映射 $ m_b \circ j_a $ 和映射 $ j_a \circ m_b $ 均可将 $ L $ 中任意元素映到 $ [a,b] $ 中, 这样我们的想法已经初步实现, 但 $ m_b \circ j_a(z) $ 和 $ j_a \circ m_b(z) $ 通常是不同的, 也就是说我们现在有两种不同的建立关系的方法, 具体地我们还有 $ m_b \circ j_a(z) \geq j_a \circ m_b(z) $, $ m_b \circ j_a(z) \in [z \wedge b,b] $, $ j_a \circ m_b(z) \in [a,a \vee z] $. 对于模格来说, 我们有 $ m_b \circ j_a(z) = j_a \circ m_b(z) $, 此时两种方法得到统一, 这一重要特点使得模格具有很多良好的性质. 另一方面, 模格是分配格的一种合理且自然的弱化, 可以证明格是分配的当且仅当 $ (\forall x,y,z \in L)\; (x \vee z) \wedge y \leq x \vee (z \wedge y) $. 这样就可以十分容易发现分配格蕴涵模格, 虽然证明是简单的, 但大部分格论专著或教材中并不会指出这一点, 证明可以参见 [Grä 11] . 模格的一种弱化是半模格 (semimodular), 它比模格具有更少的限制. 代数也为模格提供了一些重要的实例可以帮助我们感受模格的特点. 考虑群 $ (G,\cdot) $, 其全体正规子群构成的集合关于包含关系构成模格 $ (\operatorname{N}(G),\subseteq) $, 即 $ (\forall S,T,X \in \operatorname{N}(G))\; S \subseteq T \rightarrow (SX) \cap T = S (X \cap T) $. 事实上, 若 $ S,T $ 为 $ G $ 的正规子群, 则 $ S \wedge T=S \cap T $, $ S \vee T=ST $. 注: $ (\operatorname{N}(G),\subseteq) $ 的模格定义在群论中称为戴德金模律(Dedekind Modular Law), 并可以借助陪集的性质将该结论推广到 $ S,T,X $ 为 $ G $ 的子群的情况(见 [Rob 96]), 但应该注意的是由于子群的乘积并不能总成为子群的上确界, 因此在子群乘法运算下不能构成格, 更不可能是模格. 对于其他代数结构 (如模) 也有类似的结论.
模格的性质
模格的最广为人知的一个等价判据是 $ L $ 不存在与 Pentagon ($ N_5 $) 同构的子格, 如哈斯图所示, $ m_b \circ j_a(z)=b $, $ j_a \circ m_b(z) =a $, 这明显与我们前面对模格的刻画是不符的. 事实上, $ N_5 $ 是最小的非模的格. 可以想象, 当 Pentagon 的哈斯图中的 $ a,b $ 合并为一个点 $ y $ 时 (形成一个菱形满足 $ p \sqsubset y \sqsubset q $ 且 $ p \sqsubset z \sqsubset q $), 此时符合了我们对模格的刻画, 我们也允许一个菱形内部存在多个共用上下端点的四边形 (存在除了 $ y,z $ 外满足 $ p \sqsubset ? \sqsubset q $ 的元素). 因此, 我们能够利用元素的相对补 (relative complement) 来刻画模格 [Rom 08]: 对任意 $ x,p,q \in L $, 若 $ x $ 存在关于 $ [p,q] $ 的相对补, 则 $ x $ 关于 $ [p,q] $ 的所有相对补构成的集合是反链. 例如, 菱形哈斯图中 $ x $ 关于 $ [p,q] $ 的所有相对补构成的集合为单元素集; 菱形哈斯图内部存在 $ n $ 个满足 $ p \sqsubset ? \sqsubset q $ 关系的元素时 $ x $ 关于 $ [p,q] $ 的所有相对补构成的集合有 $ n+1 $ 元素. 如果将菱形堆积起来形成的哈斯图对应的格也是模的. 因此, 我们就有了一个与戴德金转置原则密切相关的模格等价判据 [Rom 08]: 若 $ y,z \in L $, 则令映射 $ \varphi_y \colon [y \wedge z, z] \to [y,y \vee z] $ 满足对任意 $ x \in [y \wedge z, z] $ 都有 $ \varphi_y(x)=y \vee x $, 映射 $ \psi_z \colon [y,y \vee z] \to [y \wedge z, z] $ 满足对任意 $ x \in [y,y \vee z] $ 都有 $ \psi_z(x)=z \wedge x $. $ L $ 是模的, 当且仅当 $ (\forall y,z \in L) \; \psi_z \circ \varphi_y = \varDelta_{[y \wedge z, z]} $, 当且仅当 $ (\forall y,z \in L) \; \varphi_y \circ \psi_z = \varDelta_{[y,y \vee z]} $.
由于模格具有的良好性质, 许多经典的代数定理都有模格的表述, 部分定理的模格表述在将其推广至泛代数 ([Cohn 81]) 情形时发挥了重要作用. 前述的戴德金转置原则 (Dedekind’s Transposition Principle) 是菱形同构定理 (Diamond Isomorphism Theorem) 的格论表述, 其群论表述是广为人知的诺特同构定理中的一条. 和群论类似, 戴德金转置原则可以推导出蝴蝶引理 (Zassenhaus Lemma) 的格论表述. 合成列相关的施赖埃尔定理 (Schreier Refinement Theorem) 和若当-赫尔德定理 (Jordan-Hölder Theorem) 有格论表述. 直积分解相关的克鲁尔-施密特定理 (Krull-Schmidt Theorem) 也有格论表述, 其弱化形式称为库洛什-奥尔定理 (Kurosh-Ore Theorem). 下面用尽可能少的术语 (相应地, 更长的表述) 来介绍一下这些工作并给出参考文献, 先给出一些定义: 若 $ A,B $ 为 $ L $ 的链满足 $ A \subseteq B $, $ \min A=\min B $, $ \max A=\max B $, 则称 $ B $ 为 $ A $ 的加细. 若 $ B $ 为 $ A $ 的加细 (refinement), 且 $ A \subsetneqq B $, 则称 $ B $ 为 $ A $ 的真加细 (proper refinement). 若 $ A $ 不存在真加细, 则称 $ A $ 为不可加细 (unrefinable). 若 $ l $ 不为 $ L $ 的最小元, 且对任意 $ x,y \in L $ 都有 $ l=x \vee y $ 蕴涵 $ l=x $ 或 $ l=y $, 则称 $ l $ 为并不可约的 (join-irreducible).
戴德金转置原则: 若 $ x,y \in L $ , 则存在格同构 $ [x \wedge y,x] \cong [y, x \vee y] $. 戴德金转置原则几乎是模格最重要的性质, 绝大多数格论的教材或专著都不会省略它. “对任意 $ x,y \in L $, 戴德金转置原则都成立”是我们前述的最后一个模格等价判据的弱化, 它仅能作为有限格和代数格的模格判据 [Grä 11]. 由于戴德金转置原则表现出的哈斯图是个菱形, 因此相关的同构定理也称为菱形同构定理. 以群论的菱形同构定理为例: 若 $ (G,\cdot) $ 为群, $ T $ 为 $ G $ 的子群, $ N $ 为 $ G $ 的子规子群, 则 $ T/(T \cap N) \cong TN/N $. 该定理表现出的哈斯图也是个菱形, 且 $ TN=\langle T \cup N \rangle=T \vee N $.
蝴蝶引理及其对偶: 若 $ x,x^{\prime},y,y^{\prime} \in L $ 满足 $ x^{\prime} \leq x $ 且 $ y^{\prime} \leq y $, 则存在格同构 $ [x^{\prime} \vee (x \wedge y^{\prime}), x^{\prime} \vee (x \wedge y)] \cong [(x^{\prime} \wedge y) \vee y^{\prime} (x \wedge y) \vee y^{\prime}] $ 和 $ [x \wedge (x^{\prime} \vee y^{\prime}), x \wedge (x^{\prime} \vee y)] \cong [(x^{\prime} \vee y^{\prime}) \wedge y, (x \vee y^{\prime}) \wedge y] $. 两者的哈斯图都形如蝴蝶, 只不过是互相颠倒的. 前者参考[Rut 65], 后者参考[Bly 05].
施赖埃尔定理: 若 $ C_1,C_2 $ 是 $ L $ 的链满足 $ \min C_1=\min C_2 $ 且 $ \max C_1=\max C_2 $, 则存在 $ C_1 $ 的加细 $ C_1^{\prime}=\{x_0,x_1,\ldots,x_m\} $, $ C_2 $ 的加细 $ C_2^{\prime}=\{y_0,y_1,\ldots,y_n\} $, 使得 $ x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_m $ 且 $ y_0 \leq y_1\leq \cdots \leq y_n $, $ m=n $ 且存在置换$ \sigma \in S_n $ 使得对任意 $ k \in \{1,\ldots,n\} $ 都有格同构 $ [x_{i-1},x_i] \cong [y_{\sigma(i)-1},y_{\sigma(i)}] $. 若当-赫尔德定理是施赖埃尔定理的一个特殊情况, 即 $ C_1,C_2 $ 均为不可加细的链的情况, 此时 $ C_1=C_1^{\prime} $ 且 $ C_2=C_2^{\prime} $. 但是不可加细的链并非总是存在的 (如格存在无限链的情况). 可以证明当格是有限长的 (finite length) 时, 不可加细的链总存在. 参考 [Cohn 81] 和 [Rut 65]. 在 [Grä 11] 中若当-赫尔德定理被推广至半模格.
库洛什-奥尔定理: 若$ x_1,x_2,\ldots,x_m,y_1,y_2,\ldots,y_n \in L $ 是并不可约的, 对任意 $ i \in \{1,\ldots,m\},j \in \{1,\ldots,n\} $ 都有 $ x_1 \vee \cdots \vee x_m \neq x_1 \vee \cdots \vee x_{i-1} \vee x_{i+1} \vee x_m $ 且 $ y_1 \vee \cdots \vee y_n \neq y_1 \vee \cdots \vee y_{j-1} \vee y_{j+1} \vee y_n $, $ l=x_1 \vee \cdots \vee x_m=y_1 \vee \cdots \vee y_n \in L $, 则 $ m=n $, 且存在置换 $ \sigma \in S_n $ 使得对任意 $ k \in \{1,\ldots,n\} $ 都有 $ l=x_{\sigma(1)} \vee \cdots \vee x_{\sigma(k)} \vee y_{\sigma(k+1)} \vee \cdots \vee y_{\sigma(n)} $, $ L $ 是分配的蕴涵 $ \{x_1,\ldots,x_m\}=\{y_1,\ldots,y_n\} $. 若 $ L $ 满足关于元素的降链条件, 则对任意 $ l \in L $, 都存在并不可约的 $ x_1,x_2,\ldots,x_m \in L $, 使得对任意 $ i \in \{1,2,\ldots,m\} $ 都有 $ l=x_1 \vee \cdots \vee x_m \neq x_1 \vee \cdots \vee x_{i-1} \vee x_{i+1} \vee x_m $. 参考 [Birk 67] ,[Cohn 81], [Bly 05] , [Grä 11], [Rom 08] . 不难发现该定理是群论中的克鲁尔-施密特定理的弱化版本, 但群论的克鲁尔-施密特定理还能刻画分解元素间的同构关系. [Cohn 81] 在更强的条件下 (有限长模格的最大元分解为无关集 (independent) 的上确界) 提供了库洛什-奥尔定理的一种强化 (类似克鲁尔-施密特定理), 在这种分解下对任意 $ x_i $都存在 $ y_j $ 使得两者具有相同的补.
参考文献
[Birk 67] G. Birkhoff. Lattice Theory (Third Edition). American Mathematical Society, 1967.
[Cohn 81] P. M. Cohn. Universal Algebra (Second Edition). D. Reidel Publishing Company, 1981.
[Bly 05] T. S. Blyth. Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer-Verlag, 2005.
[Grä 11] G. Grätzer. Lattice Theory: Foundation. Birkhäuser, 2011.
[Rob 96] D. J. S. Robinson. A Course in the Theory of Groups (Second Edition). Springer-Verlag, 1996.
[Rut 65] D. E. Rutherford. Introduction to Lattice Theory. Oliver and Boyd Ltd, 1965.
[Rom 08] S. Roman. Lattices and Ordered Sets. Springer-Verlag, 2008.